پکیج آموزش کامل معادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل نوعی معادله ریاضی است که بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق هایی با مرتبه‌های مختلف نسبت به متغیرهای مستقل است.برنا اندیشان در این بخش یکی دیگر از پکیج های آموزشی با عنوان آموزش کامل معادلات دیفرانسیل را برای دانلود در اختیار شما علاقه مندان قرار می دهد.

دوره جامع آموزش کامل معادلات دیفرانسیل

در فیلم آموزش کامل معادلات دیفرانسیل شما با صفر تا صد معادلات دیفرانسیل آشنا شده و در آخر به تسلط بالایی خواهید رسید.

آشنایی با معادلات دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل نوعی معادله ریاضی است که بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق هایی با مرتبه‌های مختلف نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات، به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربرد های فراوانی دارند.

معادلات دیفرانسیل در بسیاری از پدیده‌های علمی رخ می دهند. هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر با مقادیر مختلف در حالت‌ها یا زمان‌های مختلف وجود داشته و نرخ تغییرات متغیرها در زمان‌های مختلف یا حالات مختلف شناخته شده‌ باشند می‌توان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد.

به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بوسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را میدهند. در چنین شرایطی می توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیلی که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.

آموزش کامل معادلات دیفرانسیل

در دنیایی زندگی می‌کنیم که پدیده‌ها دائماً در حال تغییر هستند. این در حالی است که می‌توان اکثر این دگرگونی‌ها را با استفاده از معادلات دیفرانسیل توصیف کرد. به عنوان مثال، آلبرت انیشتین به منظور توصیف نیروی گرانشی از معادلات دیفرانسیل استفاده کرد؛ او به کمک این معادلات هم این نیرو را توضیح داد و هم ثابت کرد که امکان سفر به آینده امکان‌پذیر است!

شاخه‌بندی معادلات دیفرانسیل

روش‌های حل معادلات دیفرانسیل بسیار مرتبط با نوع معادله هستند. معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد.

معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیر مستقل است.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیر مستقل می‌باشد.

هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیر خطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل معمولی و مشتقات پاره ای را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هوموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

رابطه بین جمعیت خرگوش‌ها و معادله دیفرانسیل

هرچه خرگوش بیشتری وجود داشته باشد، بچه خرگوش بیشتری نیز وجود خواهد داشت. این بچه‌ خرگوش‌ها نیز بزرگ خواهند شد و تولید مثل خواهند کرد. بنابراین با گذشت زمان تعداد خرگوش‌ها بیشتر و بیشتر خواهند شد. خب اجازه دهید ببینیم این روند زیاد شدن به چه شکل و با چه سرعتی اتفاق می‌افتد. به این منظور در ابتدا فرضیات زیر را در نظر می‌گیریم.

N: تعداد خرگوش‌ها در زمان t
r: نرخ تولد (منظور از نرخ تولد، تعداد خرگوش‌هایی است که یک خرگوش و در یک بازه‌ زمانی معین تولید می‌کند.)
dN/dt: سرعت زیاد شدن تعداد کل خرگوش‌ها

حال این اعداد را در قالب یک مثال واقعی فرض کنید:

• در حال حاضر تعداد کل خرگوش‌ها برابر با N=1000 است.
• هر خرگوش در یک هفته r=0.01 بچه تولید می‌کند.

با دو فرض در نظر گرفته شده در بالا، می‌توان نتیجه گرفت که کل خرگوش‌ها در هر هفته، تعداد dN/dt=1000×0.01=10 بچه جدید به وجود می‌آورند. توجه کنید که این اعداد فقط با یک مقطع زمانی معین ارتباط دارند و به این معنی نیستند که خرگوش‌ها دائماً در حال افزایش هستند. بنابراین، بهتر است بگوییم که نرخ زیاد شدن تعداد خرگوش‌ها  در هر لحظه برابر است با: dN/dt=rN. اگر خوب دقت کنید، این رابطه یک معادله دیفرانسل محسوب می‌شود چرا که در آن (N(t به صورت تابعی از مشتقاتش بیان شده است.

این جا است که به قدرت ریاضیات پی می‌بریم. این معادله می‌گوید: «نرخ رشد جمعیت خرگوش‌ها بر واحد زمان برابر با حاصل ضرب نرخ رشد در تعداد آن‌ها است.»

صورت های معادلات دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.

Mdx + Ndy = 0

در معادله بالا هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال‌گیری از هر جمله پاسخ بدست می‌آید. یعنی:

M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫

معادله دیفرانسیل همگن

گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.

dy/dx + py = Q

معادله را که بتوان آن را به صورت

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.

M/∂y = ∂N/∂x∂

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:

F (x,y،dy/dx,d2y/dx2) = 0

این گونه معادلات را معمولاً با یک متغیر مناسب مانند dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد

معادله دیفرانسیل خطی

معادله دیفرانسیل را که در آن توابع بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه nام می‌نامند که البته اگر در تعریف بالا (F(x مساوی صفر باشد معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود. سپس با نوشتن معادله کمکی p(r)=0 و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r پاسخ معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن، علاوه بر عملیات بالا، پاسخ‌های معادله ناهمگن را با شیوه‌های خاصی پیدا کرده و به پاسخ بالا می‌افزایند.

حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه nام توسط سری‌های توانی معادله دیفرانسیل را در نظر می‌گیریم که در آن x۰ نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:

همینطور با جاگذاری سری مربوط به (y=f(x و تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم. کاربردها کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن بدست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند.

در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. مسائل فیزیکی زیادی پس از فرمول‌بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند همین‌طور در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو، قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.

آموزش کامل معادلات دیفرانسیل و روش‌های حل معادلات

به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می‌شوند. برخی از معادلات دارای پاسخ دقیق و فرم تابعی هستند اینگونه معادلات را می‌توان از روش‌های تحلیلی حل نمود و به پاسخ دقیق رسید. معادلات دیگر که دارای فرم تابع مشخص نیستند را بایستی توسط روش‌های نیمه تحلیلی یا عددی حل کرد. از روش‌های نیمه‌تحلیلی می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و… اشاره کرد.

روش‌های عددی دامنه وسیع تری را برای حل معادلات به کار می‌گیرد. از روش‌های عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، روش رانگ-کوتا، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد.