محاسبات سریع ذهنی: جادوی ریاضی در دستان شما

ریاضیات به عنوان یکی از علوم پایه‌ای، نقش بسیار مهمی در زندگی روزمره انسان دارد. از زمانی که صبح از خواب بیدار می‌شویم و تا زمانی که شب به خواب می‌رود، با مواردی از جمله محاسبه‌ی هزینه‌های خرید، اندازه‌گیری زمان، یا حتی تحلیل داده‌های پیچیده مواجه هستیم. با این حال، بسیاری از ما در انجام محاسبات ذهنی به مشکل برمی‌خوریم و به دستگاه‌های محاسبه‌ی الکترونیکی متوسل می‌شویم.

خوشبختانه، روش‌ها و ترفندهایی برای تقویت مهارت‌های محاسباتی ذهنی وجود دارد که می‌تواند به ما کمک کند تا سریع‌تر و دقیق‌تر به جواب‌ها برسیم. در اینجا قصد داریم به برخی از این ترفندها و نکات اشاره کنیم.

برای مثال، می‌توانید با استفاده از قوانین ساده‌ی جمع و تفریق، محاسبات را سریع‌تر انجام دهید. یا با استفاده از تقسیم توسط ۵ یا ۱۰، می‌توانید اعداد را به راحتی تقسیم کنید. همچنین، تسلط بر روش‌های ساده‌ی ضرب و تقسیم ممکن است به شما کمک کند تا به سرعت به جواب‌ها برسید.

با استفاده از این ترفندها و تکنیک‌ها، می‌توانید عملیات ریاضیاتی خود را بهبود بخشیده و به طور کلی مهارت‌های محاسباتی خود را تقویت کنید. در این مقاله از مجله علمی برنا اندیشان تصمیم داریم تا تکنیک‌های محاسبات سریع ذهنی را خدمت شما دوستان عزیز معرفی کنیم.

محاسبه معکوس درصدها

پیشنهاد می‌شود به پکیج آموزش ریاضیات مهندسی مراجعه فرمایید. درصدی که از یک مقدار بدست می‌آید، برابر با درصد دیگری از همان مقدار است، با این که این مقادیر با هم معنایی متفاوتی دارند. اما اگر محاسبات را برعکس انجام دهیم، می‌توانیم به سرعت به جواب برسیم. به عنوان مثال، ۶۸ درصد از ۲۵ برابر است با ۲۵ درصد از ۶۸. به این معنا که یک چهارم از ۶۸ برابر است با ۱۷. اگر این نکته را در نظر بگیریم که برخی از درصدها معادل کسرهای اساسی هستند، مانند یک دهم، یک هشتم، یک ششم و غیره، می‌توانیم بسیاری از محاسبات را با آسانی انجام دهیم:

• ۱۰ درصد معادل یک دهم است.
•  ۱۲٫۵ درصد معادل یک هشتم است.
•  و به همین ترتیب، ۲۰ درصد معادل یک پنجم، ۲۵ درصد معادل یک چهارم، و غیره.

با حفظ این نکته، محاسباتی که درصدها به عنوان کسرهای اساسی دارند، بسیار آسان‌تر می‌شوند.

پیدا کردن درصد اعداد

یافتن درصد یک عدد ممکن است به نظر مشکل بیاید، اما با کمی توجه و دقت، می‌توان آن را درک کرد. به عنوان مثال، برای درک مقدار ۵ درصد از ۲۳۵، می‌توانید ابتدا ۱۰ درصد یا یک دهم آن را محاسبه کنید. برای این کار، می‌توانید عدد ۲۳۵ را بر ۱۰ تقسیم کنید. اما قبل از این، علامت اعشار را یک رقم به سمت راست جابه‌جا کنید. با این کار، به عدد ۲۳.۵ می‌رسیدید. سپس عدد حاصل را بر ۲ تقسیم کنید، زیرا ۵ درصد نصف ۱۰ درصد است. پس جواب معادله ۱۱.۷۵ خواهد بود.

تفریق بدون قرض گرفتن ارقام

وقتی نیاز به از بین بردن اعداد بزرگ‌تر از دیگری نباشد، انجام تفریق ذهنی آسان‌تر خواهد بود. اما اگر عدد دوم از عدد اول (که باید از آن کم شود) بزرگ‌تر باشد، انجام تفریق کمی پیچیده می‌شود. برای جلوگیری از قرض‌گرفتن اعداد کناری، باید به گونه‌ای با این اعداد بزرگ‌تر برخورد کنید.

به عنوان مثال، در معادله ۷۳۴-۹۲۵، رقم‌های دهگان کمی پیچیدگی را افزوده‌اند. برای ساده‌تر کردن محاسبه، ابتدا ۷۲۴-۹۲۵ را محاسبه کرده و سپس عدد به دست آمده را از ۱۰ کم کنید. به عبارت دیگر:

۲۰۱ = ۷۲۴ – ۹۲۵

۱۹۱ = ۱۰ – ۲۰۱

تعیین بخش پذیر بودن یک عدد بر عدد دیگر

مضارب ۲: اعدادی که به ۰، ۲، ۴، ۶ یا ۸ ختم می‌شوند، مضارب ۲ هستند.

مضارب ۳: اعدادی که مجموع ارقامشان بر ۳ مساوی است یا مضربی از ۳ هستند.

مضارب ۴: ابتدا رقم صدگان را نادیده می‌گیریم و عدد دورقمی را بر دو تقسیم می‌کنیم. سپس مضارب ۲ را بررسی می‌کنیم. اگر عدد حاصل از این تقسیم بر ۴ بخش‌پذیر باشد یا به ۰۰ یا یک عدد دورقمی ختم شود که بر ۴ بخش‌پذیر است، آن عدد مضارب ۴ است.

مضارب ۵: اعدادی که به ۵ یا صفر ختم می‌شوند، مضارب ۵ هستند.

مضارب ۶: اعدادی که هنگام جمع ارقامشان حاصل جمع بر ۳ بخش‌پذیر است و همچنین زوج هستند، مضارب ۶ هستند.

مضارب ۷: برای بررسی مضارب ۷، ابتدا رقم آخر را دو برابر می‌کنیم و از اعداد باقی‌مانده کم می‌کنیم. اگر در نهایت به صفر یا یک مضرب از ۷ برسیم، عدد اصلی از مضارب ۷ است.

مضارب ۸: ابتدا رقم هزارگان را نادیده می‌گیریم و سپس عدد سه‌رقمی باقی‌مانده را بر دو تقسیم می‌کنیم. سپس نتیجه را دوباره بر دو تقسیم می‌کنیم و مضارب ۲ را بررسی می‌کنیم. اگر سه رقم آخر عدد بر ۸ بخش‌پذیر باشند یا عدد به ۳ صفر ختم شود، آن عدد از مضارب ۸ است.

مضارب ۹: اعدادی که مجموع ارقامشان برابر ۹ یا مضربی از ۹ است، مضارب ۹ هستند.

مضارب ۱۰: اعدادی که به صفر ختم می‌شوند، مضارب ۱۰ هستند.

مضارب اعداد بزرگتر از ۱۰

برای بررسی بخش‌پذیری اعداد بزرگ‌تر از ۱۰، ابتدا عدد مورد نظر را به اعداد تک‌رقمی تجزیه کنید. سپس با کنار هم گذاشتن تمام عوامل تکراری، آزمایش‌های مضارب‌های مختلف را انجام دهید.

به عنوان مثال، عدد ۶۰ را می‌توان به‌صورت ۵ × ۳ × ۲ × ۲ تجزیه کرد. بنابراین، تمام مضارب‌های ۶۰ باید شامل مضارب‌های ۲ × ۲، ۳ و ۵ باشند. توجه کنید که ما گفتیم ۲ × ۲ یعنی مضرب ۶۰ باید بخش‌پذیر با ۲ و همچنین بخش‌پذیر با ۴ نیز باشد. به عنوان مثال، ۱۵۰ بر ۲ بخش‌پذیر است، اما بر ۴ بخش‌پذیر نیست، بنابراین نمی‌توان گفت که بر ۶۰ بخش‌پذیر است.

تکنیک‌هایی برای ضرب اعداد

در هنگام انجام محاسبات سریع در ضرب ذهنی، تلاش کنید مسئله را ساده‌تر کنید. به عبارت دیگر، از قواعد و ترفندهایی که به ساده‌تر کردن عملیات ریاضی کمک می‌کنند، بهره ببرید. به عنوان مثال، به جای ضرب دو عدد بزرگ، ممکن است به جای آنها از ضرب اعداد کوچکتر یا تقسیم تکراری استفاده کنید. این امر می‌تواند محاسبات را سریع‌تر و آسان‌تر کند.

دو برابر کردن اعداد

پیشنهاد می‌شود به مقاله هنر اوریگامی مراجعه فرمایید. هنگامی که می‌خواهید دو عدد را در عددی زوج ضرب کنید، می‌توانید ابتدا عدد مورد نظر را در نصف آن عدد ضرب کنید، سپس نتیجه را در ۲ ضرب دهید. این کار به شما کمک می‌کند که محاسبات را سریع‌تر انجام دهید و نتیجه را به‌سادگی بدست آورید.

ضرب در عدد ۵

هنگامی که می‌خواهید عددی زوج را در ۵ ضرب کنید، می‌توانید ابتدا آن عدد را بر ۲ تقسیم کنید. سپس نتیجه را با یک صفر به عنوان رقم دهدهی در پایان عدد قرار دهید تا به جواب معادله برسید. به عنوان مثال، برای ضرب ۴ در ۵، ابتدا ۴ را بر ۲ تقسیم می‌کنیم:

۲۰ = ۴ × ۵

برای ضرب اعداد فرد در ۵، فرمول کمی متفاوت است. ابتدا عددی را که در ۵ ضرب شده است، از یک کم کنید. سپس نتیجه را بر ۲ تقسیم کنید و رقم ۵ را جلوی آن قرار دهید. به عنوان مثال، برای ضرب ۳ در ۵، ابتدا ۳ را از ۱ کم می‌کنیم و حاصل را بر ۲ تقسیم می‌کنیم که برابر با ۱ است. سپس ۵ را جلوی ۱ قرار می‌دهیم و به جواب معادله یعنی ۱۵ می‌رسیم.

البته روش دیگری هم وجود دارد که برای هر دو اعداد زوج و فرد قابل استفاده است. در این روش، عدد مورد نظر را در ۱۰ ضرب کرده و سپس نتیجه را بر ۲ تقسیم می‌کنیم.

ضرب اعداد در ۴

برای ضرب یک عدد در ۴، می‌توانیم آن عدد را دو بار در خودش ضرب کنیم، یعنی آن را به دو برابر کنیم و سپس نتیجه را دوباره به دو برابر کنیم. به عنوان مثال، برای ضرب ۸ در ۴، ابتدا ۸ را به ۱۶ تبدیل می‌کنیم. سپس ۱۶ را هم دوباره به دو برابر می‌کنیم تا به جواب معادله یعنی ۳۲ برسیم. در نتیجه:

۳۲ = ۴ × ۸

ضرب در عدد ۹

برای محاسبه ضرب یک عدد در ۶۵، می‌توانید ابتدا آن عدد را در ۱۰ ضرب کنید و سپس نتیجه به دست آمده را از خود عدد کم کنید. به عنوان مثال، برای محاسبه ۹ × ۶۵، ابتدا ۶۵ را در ۱۰ ضرب می‌کنیم تا به ۶۵۰ برسیم. سپس این عدد را از خود ۶۵ کم می‌کنیم تا به جواب معادله برسیم. بنابراین:

۵۸۵ = ۶۵۰ – ۶۵

ضرب در ۱۰ و ۱۱

برای ضرب هر عدد در ۱۰، فقط کافی است یک صفر به انتهای آن عدد اضافه کنید. به عنوان مثال، ضرب ۶۲ در ۱۰ برابر است با ۶۲۰.

برای ضرب اعداد دو رقمی در ۱۱، می‌توانید دو رقم عدد مورد نظر را با هم جمع کنید و حاصل را در وسط قرار دهید. به عنوان مثال، برای ضرب ۳۶ در ۱۱، می‌توانید ۳ و ۶ را با هم جمع کرده و حاصل، یعنی ۹، را در وسط دو رقم ۳ و ۶ قرار دهید. بنابراین جواب معادله ۳۹۶ خواهد بود.

در صورتی که حاصل جمع دو عدد دو رقمی بیشتر از ۹ باشد، رقم دهگان آن را در وسط قرار دهید و رقم یکان عددی را که می‌خواهید در ۱۱ ضرب کنید، با ۱ جمع کنید. به عنوان مثال، برای ضرب ۸۸ در ۱۱:

۸ (۸ + ۸) ۸

۶۸ (۸ + ۱)

۹۶ – ۸ – ۸

پس جواب معادله برابر با ۹۶۸ خواهد بود، که معادل ضرب ۸۸ در ۱۱ است.

ضرب اعداد بزرگ

هنگامی که می‌خواهید دو عدد بزرگ را ضرب کنید و یکی از این اعداد زوج است، می‌توانید عدد اول را نصف کرده و عدد دوم را دو برابر کنید. این روش به شما امکان می‌دهد به سرعت ضرب را انجام دهید. به عنوان مثال:

برای ضرب ۱۲۰ در ۲۰، ابتدا ۲۰ را بر ۲ تقسیم کرده و حاصل را می‌گیریم که برابر با ۱۰ است. سپس ۱۲۰ را در ۲ ضرب می‌کنیم که برابر با ۲۴۰ می‌شود. سپس این دو جواب را با هم ضرب می‌کنیم تا به جواب معادله برسیم که برابر با ۲۴۰۰ است. به عبارت دیگر:

۲۴۰۰ = ۲۴۰ × ۱۰

۲۴۰۰ = ۱۲۰ × ۲۰

ضرب اعداد در ۲۵

برای ضرب یک عدد در ۲۵، می‌توانید ابتدا آن عدد را در ۱۰۰ ضرب کنید و سپس نتیجه را بر ۴ تقسیم کنید. به عنوان مثال، برای ضرب ۳۶ در ۲۵، ابتدا ۳۶ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم تا به ۳۶۰۰ برسیم. سپس این عدد را بر ۴ تقسیم می‌کنیم تا به جواب معادله برسیم.

۳۶۰۰ = ۱۰۰ × ۳۶

۹۰۰ = ۳۶۰۰ ÷ ۴

ضرب اعدادی که به صفر ختم می‌شوند

برای ضرب دو عدد، می‌توانید اعداد را بدون در نظر گرفتن صفرهای انتهایی آنها با هم ضرب کنید، سپس تعداد صفرهای به دست آمده را به انتهای جواب اضافه کنید. به عنوان مثال:

برای ضرب ۴۰۰ در ۲۰، ابتدا اعداد را بدون در نظر گرفتن صفرهای انتهایی آنها با هم ضرب می‌کنیم، بنابراین:

۸ = ۴ × ۲

سپس تعداد صفرهای به دست آمده را به انتهای جواب اضافه می‌کنیم، بنابراین:

۸۰۰۰ = ۴۰۰ × ۲۰

ضرب اعداد در ۵۰

برای ضرب یک عدد در ۵۰، می‌توانید ابتدا آن عدد را در ۱۰۰ ضرب کنید و سپس نتیجه را بر ۲ تقسیم کنید. به عنوان مثال، برای ضرب ۳۰ در ۵۰، ابتدا ۳۰ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم و سپس حاصل‌ضرب آن، یعنی ۳۰۰۰ را بر ۲ تقسیم می‌کنیم. بنابراین حاصل‌ضرب ۳۰ در ۵۰ برابر با ۱۵۰۰ خواهد بود.

تقسیم اعداد بر ۵

برای تقسیم یک عدد بر ۵، می‌توانید آن عدد را در ۲ ضرب کنید و سپس علامت اعشار را یک رقم به سمت چپ ببرید. به عنوان مثال، برای تقسیم ۵۰ بر ۵، ابتدا ۵۰ را در ۲ ضرب می‌کنیم که برابر با ۱۰۰ است، سپس اعشار حاصل ضرب، یعنی ۱۰۰، را یک رقم به سمت چپ می‌بریم. با این کار به جواب معادله، یعنی عدد ۱۰، می‌رسیم.

حفظ کردن محاسبات ساده

اگر محاسبات پایه‌ای را به یاد داشته باشید، می‌توانید بهتر مسائل ریاضی پیچیده‌تر را حل کنید. اگر جدول ضرب را فراموش کرده‌اید، بهتر است آن را دوباره مرور کنید. این ایده خوبی است که بتوانید به سرعت مضربی از ۱۲ یا سایر اعداد را پیدا کنید و با استفاده از آن‌ها، مسائل بزرگ‌تر را حل کنید. به عنوان مثال، با داشتن جدول ضرب، می‌توانید به سرعت عددی بزرگ‌تر را به‌وسیله تقسیم آن عدد، پیدا کنید.

پیدا کردن مربع کامل یک عدد بر اساس مجذور عدد قبل از آن

اگر شما مربع یک عدد صحیح را بدانید، می‌توانید به راحتی مربع عدد صحیح بعدی را با استفاده از فرمول زیر بدست آورید:

x۲+x+(x+۱)=(x+۱)۲

مثلا می‌دانیم که ۱۰ به‌ توان ۲ برابر است با ۱۰۰. بنابراین برای به‌دست‌آوردن ۱۱ به‌ توان ۲ از فرمول بالا استفاده می‌کنیم:

۱۲۱=۱۰۰+۱۰+۱۱=۱۱۲

گرد کردن اعداد دو رقمی قبل از مربع کردن آنها

برای گرد کردن اعداد دورقمی قبل از مربع‌کردن آنها، می‌توانید از روش زیر استفاده کنید:

فرض کنید که باید مجذور ۴۶ را به دست بیاورید. ابتدا با جمع کردن ۴۶ با ۴، آن را به نزدیک‌ترین مضرب ۱۰ گرد می‌کنید. سپس همان مقدار اضافه شده را از ۴۶ کم کرده و به عددی جدید می‌رسیدید. بنابراین اعداد ۵۰ و ۴۲ را خواهید داشت. سپس این دو عدد را با هم ضرب می‌کنید و مجذور عددی که برای گرد کردن ۴۶ استفاده کرده‌اید، به آن اضافه می‌کنید.

۲۱۱۶=۲۱۰۰+۱۶=۴۲+(۴۲×۵۰)=۴۶۲

با این روش، می‌توانید به سرعت مجذور یک عدد دورقمی را به دست آورید.

مربع کردن اعداد دورقمی که به ۵ ختم می‌شوند

روش آسان برای مربع کردن اعداد دو رقمی که به 5 ختم می شوند:

مراحل:

1. رقم اول را در رقم دوم ضرب کنید.

2. عدد 25 را به حاصل ضرب اضافه کنید.

مثال:

فرض کنید می‌خواهیم 75 را مربع کنیم:

1. 7 را در 5 ضرب می کنیم: 7 5 = 35

2. 25 را به 35 اضافه می کنیم: 35 + 25 = 60

3. بنابراین، 75 به توان دو برابر با 6025 است.

نکات:

این روش فقط برای اعداد دو رقمی که به 5 ختم می شوند کار می کند.

می توانید از این روش برای اعداد سه رقمی که به 5 ختم می‌شوند نیز استفاده کنید، به شرطی که رقم صدگان را نادیده بگیرید. به عنوان مثال، برای بدست آوردن مربع 125، 2 را در 5 ضرب کنید و سپس 25 را به حاصل ضرب اضافه کنید (2 * 5 = 10، 10 + 25 = 35، بنابراین 125 به توان دو برابر با 15625 است).

مزایای این روش:

• این روش سریع و آسان است.
• نیازی به حفظ کردن فرمول های پیچیده نیست.
• برای اعداد دو رقمی و سه رقمی که به 5 ختم می شوند کار می کند.

معایب این روش:

• این روش فقط برای اعداد دو رقمی و سه رقمی که به 5 ختم می شوند کار می کند.
• برای اعداد بزرگتر کار نمی کند.

کاربردهای این روش:

• این روش می تواند برای محاسبات سریع ذهنی مفید باشد.
• می تواند برای آموزش مفاهیم پایه ریاضی به کودکان استفاده شود.

مثال های دیگر:

65 به توان دو برابر با 4225 است.

85 به توان دو برابر با 7225 است.

95 به توان دو برابر با 9025 است.

تبدیل دماها

برای تبدیل تقریبی دمای هوا از درجه سانتی‌گراد به فارنهایت، درجه سانتی‌گراد را در 2 ضرب و حاصل‌ضرب را با 30 جمع کنید و برای تبدیل دمای هوا از فارنهایت به سانتی‌گراد نیز دمای هوا را منهای 30 و حاصل را بر 2 تقسیم کنید. (برای تبدیل دقیق‌تر درجه سانتی‌گراد به فارنهایت دمای هوا را در 1.8 ضرب کرده و جواب آن را با 32 جمع کنید.)

جمع کردن اعداد بزرگ

پیشنهاد می‌شود به پکیج آموزش محاسبات ذهنی مراجعه فرمایید. گاهی اوقات جمع کردن اعداد بزرگ چالش‌برانگیز می‌شود. اما نگران نباشید! با یک ترفند ساده می‌توان این کار را آسان کرد.

ترفند: اعداد را به مضرب‌های ۱۰ تبدیل کنید.

مثال:

فرض کنید می‌خواهیم 644 و 238 را با هم جمع کنیم.

جمع کردن این دو عدد به صورت مستقیم کمی دشوار است.

اما می‌توانیم با گرد کردن آنها به مضرب‌های 10، کارمان را ساده‌تر کنیم:

644 را به 650 گرد می‌کنیم.

238 را به 240 گرد می‌کنیم.

حالا جمع 650 و 240 بسیار ساده‌تر است: 650 + 240 = 890

اما دقت کنید که اعداد را کمی گرد کرده‌ایم، پس باید این موضوع را در پاسخ نهایی نیز لحاظ کنیم.

برای این کار، کافی است اعداد 6 و 2 (اعدادی که برای گرد کردن استفاده کرده‌ایم) را با هم جمع کرده و از 890 کم کنیم:

890 – (6 + 2) = 882

بنابراین:

644 + 238 = 882

نکته:

این روش برای جمع اعداد بزرگتر نیز به همین صورت قابل استفاده است.

همچنین می‌توان از روش‌های دیگری مانند استفاده از ماشین حساب یا نرم افزارهای محاسباتی نیز برای جمع اعداد بزرگ استفاده کرد.

کم کردن اعداد از ۱۰۰۰

گاهی اوقات تفریق اعداد بزرگ می‌تواند چالش‌برانگیز باشد. اما با کمی خلاقیت می‌توان این کار را آسان‌تر کرد.

ترفند: اعداد را به صورت معکوس از 9 و 10 کم کنید.

مثال:

فرض کنید می‌خواهیم 324 را از 1000 کم کنیم.

با روش سنتی، این تفریق کمی پیچیده به نظر می‌رسد.

اما با استفاده از این ترفند، به سادگی می‌توان آن را حل کرد:

به جای کم کردن 324 از 1000، 1000 را از 324 کم می‌کنیم.

برای این کار، هر رقم از 1000 را از رقم هم‌تراز آن در 324 کم می‌کنیم:

1000 – 3 = 997

900 – 2 = 898

100 – 4 = 96

در نهایت، اعداد به‌دست آمده را با هم جمع می‌کنیم: 997 + 898 + 96 = 1991

نکته:

توجه کنید که در این روش، عدد آخر 324 (یعنی 4) از 10 کم می‌شود، نه 9.

این روش برای تفریق سایر اعداد بزرگ نیز به همین صورت قابل استفاده است.

همچنین می‌توان از روش‌های دیگری مانند استفاده از ماشین حساب یا نرم افزارهای محاسباتی نیز برای تفریق اعداد بزرگ استفاده کرد.

نتیجه‌گیری

با آموزش تکنیک‌های محاسبات سریع ذهنی و تمرین مداوم، می‌توانید قدرت و سرعت محاسبات ذهنی خود را بهبود بخشیده و به اعداد با اطمینان بیشتری نگاه کنید. این تکنیک‌ها و ترفندها باعث می‌شوند که اعداد و مسائل ریاضی به چالشی جذاب تبدیل شده و از جذابیت خود از دست ندهند. با تمرین و تسلط بر این تکنیک‌ها، حل مسائل ریاضی به یک فعالیت شاد و جذاب تبدیل می‌شود و از آن لذت خواهید برد.